Question

負けず嫌い©

この問題の考え方、解き方を教えていただきたいです。

*72 鋭角三角形ABCの外心を 0, 辺BC の中点をMとする。 頂点Aから辺BC
に垂線 AN を下ろし、 線分AN上に点HをAH = 2OM となるようにとると
Hは △ABCの垂心であることを証明せよ。

ベクトル

Answer 1

GDO

添付画像のようになります
説明が少なくて（雑で）、ごめんなさい
ーーーーー
外心を示す位置のベクトルを変形すると、垂心を表す位置のベクトルになります。

Answer 2

ブドウくん

色々な解き方があると思いますが、座標で解く方法とベクトルで解く方法が楽だと思います。

ブドウくん

初等幾何で解くことも可能です。しかし発想がかなり難しいです。私は高校のときに学校でこの問題を習ったため解法を知っていますが、そうでなく初見ならば思いつかないです。

一応問題の誘導っぽく、方針を書いておきます。
(1)Oを中心とする外接円を書く。BOを延長して外接円との交点（Bでない方）をDとする。
①∠BADの大きさは何度か。
② このとき、CDがBCと垂直であることを示せ。
(2) 四角形ADCHが平行四辺形であることを示せ。
(3) CH⊥ABを示せ。
(4) 同様にしてBH ⊥ACを示せ。（すなわち(3)と合わせることでHが垂心であることを示せ。）

Answer 3

ちゃし。

この問題では、AH=2OMであり、
また O,M,H,A が同じ方向に並ぶので、
高さの位置関係からHN=OMが導けます。
したがって H は垂心の条件を満たす。

M は BC の中点であり、O は外心だから、OM⊥BC
また、AN⊥BC よりOM\\AN

点 H は AN 上にあり、AH=2OMである。

ここで、外心から辺 BC への距離を OM とすると、
垂心は高さ上でHN=OMを満たす点になる。

したがってAH=AN-HN
となり、H は △ABC の3本の高さの交点である。
よってHは△ABCの垂心である。

写真は図のイメージです👀