Question

こん

分からないです

(2) OA=d, OB=1.||=||=1, ab=k のとき, 線分 OA の垂直
二等分線のベクトル方程式を媒介変数tとa, b,k を用いて表せ.
ただし,点Bは直線 OA
上にないものとする.

Answer 1

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希

問題文の仮定から、O⃗AとO⃗Bは一次独立である。よって、線分OAの二等分線上の点Pは実数s,tを用いて

O⃗P = sO⃗A + tO⃗B

と書けます。ここで、O⃗P= p⃗としておきます。PはOAの二等分線上の点なので、
|O⃗P|² = |A⃗P|²を満たす。A⃗P= O⃗P-O⃗Aなので、
|p⃗|² = |p⃗ - a⃗|²となります。
右辺を展開すると、|p⃗|² = |p⃗|² - 2(p⃗ • a⃗) + |a⃗|²となり、|a⃗|²=1なので、p⃗ • a⃗ = 1/2 ･･･ ①
p⃗ = sa⃗ + tb⃗より、p⃗ • a⃗ = s |a⃗|² + t(a⃗ • b⃗) = s + kt ･･･ ②
①,②より、s + kt = 1/2, すなわちs = 1/2 - ktとなる。
よって、p⃗ = sa⃗ + tb⃗ = (1/2 - kt)a⃗ + tb⃗ なので、求める方程式は

p⃗ = (1/2 - kt)a⃗ + tb⃗

です。