数学
高校生
解決済み
(2)の問題で、解答を見たところ
a k+1＝1/3-2a k と何故言えるのか分かりません
ご教授よろしくお願い致します🙇
*167 数列{az}が, a1= 1/31
an+1=
1_
3-2an
(n=1, 2, 3, ...) で定められ
ているとき,次の問いに答えよ。
[12 宮崎大 ]
(1) 2, 3, 4 の値を求めよ。
(2) 一般項am を予想し, それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。
+++ 数学的帰納法 ② 数学的帰納法を用いて一般項を求める。
ポイント
(2), az, as, as 'の値から αn を推測して, それが正しいことを数学的帰納
an=
よって、数列{an} の一般項は
.... ①
分母は 3,7,
2"-1
と予想される。
2n+1−1
①が正しいことを数学的帰納法を用いて証明す
る。
[1] n=1のとき
(①の左辺)=41=1/23(①の右辺 =
よって, ① は成り立つ。
21-1
=
22−1
[2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定する。
2k-1
すなわち
ak=
=
2k+1-1
【
1
このとき ak+1
3-2ak
2k-1
3-2.
2k+1_1
2k+11
3(2+1-1)-2(2k -1)
2k+1-1
2k+1-1
=
3.2k+12k+1_1
(3-1)2k+1_1
2k+1-1
2k+2-1
ゆえに, n=k+1のときも ① が成り立つ。
[1], [2]より, すべての自然数nに対して ①が
成り立つ
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問題文をすっかり見落としていました💦
疑問を解消できとてもスッキリしました
解説ありがとうございます✨