Question

まかろん

今までなんとなくでやってしまっていたのですが、なぜ赤線の部分が恒等式になるといえるのか教えてください🙇🏻‍♀️

2次式 f(x) は, 等式 (x+1)f'(x)=2f(x)+7x-7 をみたし
ているとする.
精講
このとき,f(x) を求めよ. ただし, x2 の係数は1とする.
の係数が1の2次式ということから,f(x)=x^+ax+b とおけ
ます。 これでf'(x) を求められますから、あとは,これを与式に代
入して恒等式 (11) の考え方を利用することになります。
解答
f(x)=x2+ax+b とおくと,
f'(x)=2x+α だから, 与式に代入して
(x+1)(2x+α)=2(x2+ax+b)+7x-7
:.2.x2+(a+2)x+a=2x2+(2a+7)x+26-7
これは,xについての恒等式だから,
Ja+2=2a+7
の比
係数を比較して
la=26-7
..a=-5,b=1
第6章
よって,f(x)=x2-5x+1
参考
与えられた式に, x=-1 を代入してみると
0·f'(-1)=2f(-1) 14 となり, f(-1)=7 となることが
わかります.これは, 解答の f(x) が正解であるかどうかの
検算として利用できます.

Answer 1

ととろ

(x+1)f'(x)=2f(x)+7x-7 をみたしているとする.

この文章は「すべてのxについてみたしている」という意味ですので、
すべてのxについてみたす ＝ xについての恒等式
となります