Question

Xinnn Cennn🩵🤍

請問57題🥲謝謝🙏

56. sin=cos-
,
則cos = ?
類58.設方程式x²-px+q=0之二根為sin
2
類57. 若sin a + sin B=1 cosx+cos = 0,則cos 2a+cos23= ? sin2x+sin23= ?
e
、cos O
,
則2cos²-(sin-+cos-
18 27 2 以p,q 表示為
何?

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

qn

先講純代數解法

移項
{ sinα = 1 - sinβ
{ cosα = - cosβ

平方
{ sin²α = 1 - 2sinβ + sin²β
{ cos²α = cos²β

相加
(sin²α + cos²α) = 1 - 2sinβ + (sin²β + cos²β)
1 = 2 - 2sinβ
sinβ = 1/2

則 sinα = 1/2

然後 cosβ = ±√3/2
對應 cosα = ∓√3/2

最後就是代公式了
cos2α + cos2β
= (1 - 2sin²α) + (1 - 2sin²β)
= 1/2 + 1/2
= 1

sin2α + sin2β
= 2sinα cosα + 2sinβ cosβ
= √3/2 - √3/2
(或者 - √3/2 + √3/2)
= 0

qn

但以這題的設計
如果知道向量或甚至是複數
應該可以想到更直覺的解法

設向量 a = (cosα, sinα)
b = (cosβ, sinβ)
已知 |a| = |b| = 1
且 a+b = (cosα + cosβ, sinα + sinβ) = (0, 1)

如圖一
(設原點為 O，P = (0, 1))
若 a = OA，此時 |AP| 剛好為 1
若 a = OA'，此時 |AP| 小於 1
若 a = OA''，此時 |AP| 大於 1

因此可以建立一個直覺：
如果 A 和 P 距離越近（即 α 越接近 90°）
AP 會變太短
如果 A 和 P 距離越遠（即 α 越遠離 90°）
AP 會變太長

可以剛好滿足 |AP| = 1 的只有兩個點
A = (±√3/2 , 1/2)
(如圖二)
(滿足 |OA| = |AP| = 1 即 A 為兩圓交點)

即 (α, β) = (30°, 150°) 或 (150°, 30°)
後面只要代入其中一組角度就可以了