Question

かい

かいてます

刀/
43
_文社会科学 ]
1661 の公式の証明, 放物線で囲まれた図形の面積)
職) 8/15
(1)α<ß を満たす実数α, β に対して, f (x-a)(x-B)dx=-1/2 (B-α) を示せ。
(2) 放物線P を y=-x2+2x+4 で定める。 点(p, g) が直線 y=-2x+1 の上を動
くとき,y=(x-p)2+g で定める放物線QがPと共有点をもつようなかの範囲を求
めよ。
(3)(2) 求めた範囲を動くとき,PとQで囲まれた図形の面積の最大値を求めよ。
[お茶の水大]
応用問題

範囲
で
C
l2
C
l2
を
B3-3
3
2
a+B (B²-a²)+ aẞ(ẞ-a)
27
=1/21 (B-α) (2 (B2+Bar+α)-3(B+α)+6aB}
=1/12 (B-α) (-B2+2Ba-a²)=-1/2 (B-α)
f(x-a)(x-B)dx=f(xa)(x-a)-(B-a)dx
={(xa)-(Ba)(x-a)}dx
-[(x-a) Ba (x-a)]"
=
2
(8-a)" (-a)=(B–a)³
3
2
(2)点(b,g) が直線 y=-2x+1 上を動くから g= -2p+1
よって、 Qの方程式は y=(x-p)2-2p+1
y=x2-2px+p-2p+1
B-αをくくり出す。
x-βをx-αが現れる形
に変形。
3
167 放物
Sta
(3)
(1) y=x2
直線 l
y-a
すなわち
x2=--
x²
(x
√(x-a)dx=(x-+0
よって
ゆえに
すなわち
PとQの方程式からy を消去すると
ラブ
-x2+2x+4=x2-2px+p-2p+1
整理して
2x2-2(p+1)x+p2-20-3=0
......
①
D=
<1
の
で
2
この2次方程式の判別式をDとすると
1/4={(n+1)-2(p-2p-3)=-p+6p+7
=-(p+1)(p-7)
QがPと共有点をもつための条件は, D≧0 であるから
-(n+1)(p-7)≧0
したがって -1≤p≤7
(3) (2) のとき, ①の2つの解をα, β
(α ≦ β) とすると
D
三線
+1-
a=
形
V 4
2
D
―
p+1+.
V4
2
B=
よって
D
4
B-a=√7=-+6p+7
P
A
0 α
(2) S=
(p+1)(p-7)≤0
(3) 2
2a
ゆえに,PQで囲まれた図形の面積をSとすると
s={(-x'+2x+4)-(x-2px+p-2p+1)}dx
=-2f(x-a)(x-8)dx-(-2){-1/12(3-2)^2}=1/3(3-4)
= (√-p²+6+7)=√(-3)+16)
①の解α,βはPとQの交
点のx座標。
したがって,Sは p=3 のとき最大値 - (V6)=4
16/16
をとる。
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数学重要問題集 (文系)