一つ目の赤線について
x_nが有限であることが言えればx_1でもx_6でも有限だから、ということです(nにどんな自然数を代入にてもok)
で、nが有限であることを言うには、n+1が有限であることがいえればいい、つまり数学的帰納法を使おうか、という発想
二つ目の赤線について、限定しなければ最高で1～nまで並べ替えてできる個数、つまりn！だけ増えますが、所詮有限だからok
赤枠について
∑[n=1~k+1]1/x_n=rより、∑[n=1~k]=r-1/x_(k+1)となりますが、r-1/x_(k+1)は有理数で有限個(回答はこの部分を∑N(r-1/i)としている)
赤の括弧について
こうなるための条件が、x_n≧1ではなく、x_n≧x_(n+1)であるからという話です(回答はここをi(任意の自然数)と置き換えている)
訂正
二つ目の赤線について
一つの解に対して最高でn!個増えるので、全体では最高でn!倍にしかならない(掛けたところで有限)
追記
数学ではよく使われる『高々』という言葉、わかりやすく言うと『せいぜい』とか『多くても』という意味です
知っていたら流してください