<オカキク>
アイ=35, ウエ=17ですが、数字が多いと逆にややこしいのでしばらく
x=35, y=17
とおいてやっていきます。いま、
35x-72y=1⋯①
が成り立っています
nの定義は
n=35xa-72yb
なので
n-a=35xa-72yb-a
=(1+72y)a-72yb-a (①より)
=a+72ya-72yb-a
=72y(a-b)⋯②
よって オカ=y=17
キクも同様です
<ケコサシ>
大丈夫そうなので飛ばします
<ス>
②より、
n=72y(a-b)+a
特に、a=3,b=2のときn=1227だったので
1227=72y+3⋯③
同様に、n-bの式変形を利用すると
1227=35x+2⋯④
ここで、
n=72k+3⋯⑤
n=35m+2⋯⑥
と表されるnを考えます
⑤-③, ⑥-④より
n-1227=72(k-y)
n-1227=35(m-x)
よって、n-1227は72の倍数かつ35の倍数です。72と35は互いに素なのでn-1227は72×35(=2520)の倍数になります。
ゆえに
n-1227=2520p
n=2520p+1227
あとはこの中で1000以上10000未満のものを探すと4個になります
丁寧にありがとうございます！！
<セソ>
例えば、1111₍₁₀₎という数は
1111₍₁₀₎=1000+100+10+1
すなわち
1111₍₁₀₎=10³+10²+10+1
と書けます
或いは二進法の場合、
1111₍₂₎=2³+2²+2+1
と書けます
したがって、n進法であれば
1111[n]=n³+n²+n+1
と書けます。また、
110[n]=n²+n
それぞれ因数分解すると
1111[n]=(n+1)(n²+1)
110[n]=n(n+1)
この２つの数はともにn+1で割り切れ、n²+1とnは互いに素であるから、最大公約数はn+1です。n進法に直せば
11[n]
<タチツテ>
1111[n]=(n+1)×(n²+1)
110[n]=(n+1)×n
なので、最小公倍数は
(n+1)×(n²+1)×n
=n⁴+n³+n²+n
となります。n進法に直せば
11110[n]