Question

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わかる方教えてください。
困っています。

積分 数iii

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

1/cos³x　⇒　cosx/cos⁴x
⇒　cosx/(1-sin²x)²　とおく

sinx=tとすると、
cosxdx=dt　より
∫1/(1-t²)²dt
=∫1/(1-t²)(1+t²)dt

あとは部分分数分解して求めてみてください

✨

答えは1/sinｘですか？

きらうる

違います。

このタイプの部分分数分解は

1/(1-t²)(1+t²)

=A/(1-t)²+B/(1-t)+C/(1+t)²+D/(1+t)

に分けます。

下の式を通分すると、分子は
=A(1+t)²+B(1+t)²(1-t)+C(1-t)²+D(1-t)²(1+t)
=A(1+2t²+t²)+B(1-t²)(1+t)+C(1-2t+t²)+D(1-t²)(1-t)
=A(1+2t+t²)+B(1+t-t²-t³)+C(1-2t+t²)+D(1-t-t²+t³)
=(A+B+C+D)+t(2A+B-2C-D)+t²(A-B+C-D)+t³(-B+D)
それぞれ係数比較して
A+B+C+D=1,　2A+B-2C-D=0,　A-B+C-D=0,　-B+D=0
これを解いて、
A=B=C=D=1/4
したがって、
与式＝1/4∫1/(1+t)²+1/(1+t)+1/(1-t)²+1/(1-t)dt
　となります。

一応答えは
sinx/2cos²x+1/4(log(1+sinx)/(1-sinx)}+C
になります。

✨

ありがとうございます。