Question

Sawa

この問題をy=ax+bとy=(x-α)²(x-β)²をつかって解きたいのですが解けません😭
教えてください！

Answer 1

きらうる

接点のx座標をα、βとおき、二重接線をy=ax+bとおく。
このとき、
x⁴+2x³-3x²-2x+1-ax-b=(x-α)²(x-β)²
とおける。
左辺=x⁴+2x³-3x²-(2+a)x+1-b
右辺=x⁴-2(α+β)x³+(α²+4αβ+β²)x²
　　　-2αβ(α+β)x+α²β²
左辺=右辺の恒等式から、
2=-2(α+β)…①
-3=α²+4αβ+β²…②
2+a=-2αβ(α+β)…③
1-b=α²β²…④

①よりα+β=-1,
②を式変形して、(α+β)²+2αβ=-3　①を代入して
αβ=-2
①②から、α=1,β=-2
あとは③④に代入すれば、接点も直線も求められます。

Sawa

ありがとうございます！
③と④にα=1とβ=-2を代入するとa=-6になってしまい、答えと違ってしまいます😭😭😭😭

きらうる

③のとこは-(2+a)=-2αβ(α+β)ですね。
これであいますか？

Sawa

あ、できました！
ありがとうございます！