Question

ブドウくん

前期中間考査の問題です。(ベクトルはベと略します。)
1枚目
ウ、エ、カ、キを解説してもらいたいです。
正答)
ア.aベ+bベ+cベ
イ.2
ウ.(aべ+bべ+cべ)/2
エ.(bべ+cべ)/2
オ.-4/5
カ.3/10
キ.重心

2枚目
(2)を解説してもらいたいです。

3枚目
(2)を解説してもらいたいです。
正答)│pべ-aべ│=aべ・pべ+2

一題だけでも全然いいので、お願いします。

Answer 1

gößt

(ウ)
軌跡を求める時と同様の流れです
点Pのベクトル方程式は
|pべ|=|aべ|…①
点Qは線分PHの中点だから
qべ=(1/2)(pべ+OHべ)…②
pべ=2qべ-(aべ+bべ+cべ)
これを①に代入して
|2qべ-(aべ+bべ+cべ)|=|aべ|
|qべ-(aべ+bべ+cべ)/2|=(1/2)|aべ|

(エ)
pべ=-aべ なので、これを②に代入すればqベクトルが得られます

(カ)
ベクトルを用いた面積の公式
△OBC=√{|OBべ|²|OCべ|²-(OBべ•OCべ)²}
に当てはめれば答えが出ます

(キ)
適当に基点Pをとったとき
OA'べ+OB'べ+OC'べ=0べ
PA'べ-POべ+PB'べ-POべ+PC'べ-POべ=0べ
POべ=(1/3)(PA'べ+PB'べ+PC'べ)
よってO'は△A'B'C'の重心です

gößt

2□(2)
一般的に成り立ちそうな書き方ですが、いまは具体的に数字が与えられているため、実際に計算して確かめろ、ということですね
AD=|ADべ|
=|(5/13)bべ+(8/13)cべ|
=√{(5/13)²•8²+2•(5/13)•(8/13)•8•5cos60°+(8/13)²•5²}
=(5•8/13)√(1+1+1)
=40√3/13
AI=(13/20)AD=2√3
ID=(7/20)AD=14√3/13 (=r)
あとは、BD,DCの長さを求めれば方べきの定理でDEが分かるのでIEも求まり、外接円の半径Rは正弦定理で出すことができます

gößt

4□(2)
点Pが満たすべき条件を一旦言葉で書くと、
AP-(gの半径)=(Pからℓに下ろした垂線の長さ)
となります
まず、
AP-(gの半径)=|pべ-aべ|-1
は易しいですね

次にPからℓに下ろした垂線の長さですが、これは
pべのy成分+1
と書けますから、
pべ•aべ+1
となります

以上より、点Pのベクトル方程式は
|pべ-aべ|-1=pべ•aべ+1
|pべ-aべ|=pべ•aべ+2

ブドウくん

ありがとうございます。