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漸化式のコツは右辺と左辺で同じ形を作ることです。
b(n+1)+1=5/4(bn+1)の様に(bn+1)を作ることを頭に置きながら、5/4bnだと扱いにくいので、カッコで括ったら上手いこと(bn+1)の形が出てくるという訳です(そもそも正しい漸化式なら同じ形が出てくる)。
回答
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An+1=5An+4^n
両辺4^nで割ると、
(An+1)/(4^n)=5An/(4^n) +1
左辺の分母分子に4をかけて、
4(An+1)/(4^n+1)=5An/(4^n) +1
ここで、Bn=An/4^nとおくと、
Bn+1=(An+1)/(4^n+1) より、
4Bn+1=5Bn +1…①
特性方程式をたてると、
4x=5x+1 x=-1
よって、①は
Bn+1 -1 =5/4(Bn -1)
となるので、公比5/4の等比数列。
あとは、これを解いてAnを求めます。
ありがとうございました！
赤色部分の式に変形することにより、等比型の数列とみなして計算を進めていくことができます。
で、赤色部分の形になるように上手いこと変形していくことを考えていく必要が出てくるわけです。
したがって、赤色部分の+1のところを＋αとおいた式を最初に作っておいて、青色部分の式の係数と比較してαの値を定めます。
ありがとうございました！
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