Question

ゲスト

（5）で、自分は（3）と、3(n∧2－1)が平方数となるのにn∧2≡1(mod3)よりn=6k±2(k∈Ｚ)として答えを出しましたが、もっと簡単に解けませんか？
(1)～(4)は分かります。

整数

Answer 1

gößt

今さらですが⋯

(3)(ii)より、Snが整数であるときnは偶数なので
n=2m (m∈ℤ )
とおくと
Sn=√{3n²(n²-4)/16}
=√{3m²(m²-1)}
=m√{3(m-1)(m+1)}
よって、 (m-1)(m+1) が平方数の3倍となるようなmを探せばいいです

mが3の倍数でないことは容易に分かります。これを元にm=8から調べてもいいと思いますし、少し考察すると
(m-1,m+1)=(k², 3ℓ²), (6k², 2ℓ²) (k,ℓ∈ℤ )
のような形しかあり得ないことが分かります。ここまで絞れたらすぐに答えは出ますが私は先に答えを出してから上の事実に気付いたので始めから思いつくのは大変かもしれません