✨ ベストアンサー ✨
ん？なんか問題文変じゃないですか？
0≦x≦π/2を満たすxに対し、
sin4nx ≧ sinx
を満たすxの区間の総和をSnとおく。
とはどのような意味でしょうか？
説明のため
sin4nx ≧ sinx (0≦x≦π/2)
を満たすxの区間の和集合をAnとおきます。つまり、
An={ x | 0≦x≦π/2 かつ sin4nx ≧ sinx }
です
とりあえず、n=1の場合で考えてみましょう
0≦x≦π/2 のとき、4xは0から2πまで動きます
単位円上に角度αの動径を取ったときのy座標がsinαなので、
sin4x ≧ sinx
が成り立つような4xの範囲は図の赤い矢印の部分です。つまり、
x≦4x≦π-x
∴0≦x≦π/5
なので、
A₁=[0,π/5], S₁=π/5
となります
次にn=2の場合で考えてみます
0≦x≦π/2 のとき、8xは0から4πまで動くので、単位円上を二周します
すると、
sin8x ≧ sinx
が成り立つような8xの範囲は変わらず図の赤い矢印の部分ですが、二周目も考慮する必要があるので
x≦8x≦π-x または x+2π≦8x≦(π-x)+2π
∴0≦x≦π/9 または 2π/7≦x≦π/3
なので、
A₂=[0,π/9]∪[2π/7,π/3]
S₂=π/9+π/21=10π/108
となります
ここまでくれば一般化できると思います。nが自然数のとき4nxは単位円上をn周し、
sin4nx ≧ sinx
が成り立つような4nxの範囲は図の赤い矢印の部分なので、
x+2kπ≦4nx≦(π-x)+2kπ (k=0,1,⋯,n-1)
∴2kπ/(4n-1)≦x≦(2k+1)π/(4n+1)
よって、
An=[0,π/(4n+1)]∪[2π/(4n-1),3π/(4n+1)]∪⋯
⋯∪[(2n-2)π/(4n-1), (2n-1)π/(4n+1)]
Sn=Σ[k=0 to n-1] {(2k+1)π/(4n+1)-2kπ/(4n-1)}
あとはSnの極限を求めればOKです
ありがとうございます。
この問題を解く時に、まずどこに注目して、どう方針を立てようと思ったか、教えてください。
解くときに考えていたことをつらつらと書いていきます。
まず、不等式ということなのでグラフで位置関係を視覚的に捉えようと思いました。
y=sin4nx のグラフは y=sinx のグラフをx軸方向に1/4n倍したものなので、だいたい1枚目の画像のようなグラフになります(画像は y=sinx と y=sin12x のグラフです)。
グラフを描きながら、「0≦x≦π/2の範囲でsinは単調増加していて、その間でsin4nxのグラフが何回か飛び出したり引っ込んだりしている」とか、「0≦x≦π/2の範囲だとsin4nxはちょうどn周期分のグラフになる」などに気付きました。
あとは２つのグラフの交点が分かればいいのですが、これだけ見ていても交点は分からないのでグラフによる考察は一旦終わりにします。グラフはアバウトな情報しか取り出せないものの、問題設定を理解するのに役立つのでかけそうなものは簡単にさっとかいてみるといいと思います。
次に、不等式 sin4nx≧sinx の図形的な意味に注目しました。先の返信で述べたようにsinというのは単位円上の点のy座標を表します。そこで、単位円上を角度xと角度4nxの動径がぐるぐる回り、その中で動径の高さの関係が刻々と変わっていく様子(画像2枚目)をイメージしました。
では実際に sin4nx≧sinx となるのはどんなときなのか。それは角度4nxの動径が角度xの動径より上側にあるときであり、よって角度xの動径をy軸について反転させた動径の角度をαとおけば、おおよそ
x ≦ 4nx ≦ α
で表されるときだろうと見当がつきます(画像3枚目)。この辺りで sinx>1/2 の解法と同じことをしていることに気付きました。
このとき、図を見れば α=π-x が容易に分かり、実際にはk周分のずれも認められること、4nxは単位円をn周することを考慮に入れれば最終的に
x+2kπ ≦ 4nx ≦ (π-x)+2kπ (k=0,1,⋯,n-1)
のかたちとなります。あとは解いて完了、という感じです。
なるほど！ありがとうございます。私はsinのグラフだけ書いてそこで止まってしまいました。そこから単位円に持っていけば良かったのですね！ありがとうございました！
すみません、xの区間の長さの総和でした。