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z=r(cosθ+isinθ) (r,θは実数) とおくと、
1≦r≦2, -π/4≦θ≦π/4
このとき
w=z+(1/z)
=r(cosθ+isinθ)+(1/r)(cosθ-isinθ)
={r+(1/r)}cosθ+i{r-(1/r)}sinθ
w=x+yi (x,yは実数) とおくと
x={r+(1/r)}cosθ
y={r-(1/r)}sinθ
以下、rとθを片方ずつ動かして、得られた領域の共通部分をとる方針で進めます
まず、rを固定して 0≦θ≦2π の範囲で考えます
(i)r=1 のとき
x=2cosθ, y=0
なのでwの動く範囲は二点-2, 2を結んだ線分
(ii)r≠1 のとき
x²/{r+(1/r)}²+y²/{r-(1/r)}²＝1
この方程式は楕円を表し、その焦点は
√[{r+(1/r)}²-{r-(1/r)}²]=2
より ±2 であるから、wの軌跡は二点±2からの距離の和が 2{r+(1/r)} となるような点からなる
(i)(ii)より、rが1から2まで動くとき
2≦r+(1/r)≦5/2
であるからwの動く範囲は不等式
x²/(5/2)²+y²/(3/2)² ≦ 1
の表す領域
次に、θを固定して r>0 の範囲で考えます
(i)θ=0 のとき
x=r+1/r, y=0
なのでwの動く範囲は2を端点とし、実軸の正の方向に伸びる半直線
(ii)θ≠0 のとき
x²/cos²θ-y²/sin²θ＝4 (x>0)
x²/(2cosθ)²-y²/(2sinθ)²＝1 (x>0)
この方程式は双曲線の一部を表し、その焦点は
√{(2cosθ)²+(2sinθ)²}=2
より ±2 であるから、wの軌跡は二点±2からの距離の差が 4cosθ となるような点からなる
(i)(ii)より、θが-π/4からπ/4まで動くとき
√2≦cosθ≦2
であるからwの動く範囲は不等式
x²/2+y²/2 ≧ 1, x>0
の表す領域
以上より、rとθが
1≦r≦2, -π/4≦θ≦π/4
の範囲を動くときのwの動く範囲は、楕円
x²/(5/2)²+y²/(3/2)²＝1
と双曲線の一部
x²/2+y²/2＝1 (x>0)
によって囲まれた部分のうち双曲線より右側にある領域である
あとは面積求めればいいので割愛します
