Question

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粘りましたが解けません

Answer 1

ほしの

ここではaについて定数分離するのがベターかと
思います。
f(t)=4t^2-1
g(t)=a(1-t)
とするか、
他には与式をtの二次関数とみて、
f(t)=4(t+a/8)^2-(a^2/16)+1-a
が常に正である条件を求める
の2択だと思います。
今回は後者の考えが浮かびやすいと思いますから、それは発想できるようにしておきましょう。

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gtにtが含まれているのはいいんですか、、？

ほしの

基本的に、関数の評価は曲線と直線で行う物ですね。
そして、今回の式
g(t)=a(1-t)は
つねにt=1でg(t)=0である式ですから、
ある直線が(1,0)を通る
⇔その直線について一対一に対応するaが存在する
ということです。
つまり、方針としては
f(t)の(s,f(s))における接線、
y=8st-4s^2-1
が(1,0)を通るsと、それに対応するaを求めればよいのではないでしょうか。

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難しいですね💧

ほしの

正直、この問題でできるべき解法は二次関数解析の方で、前者の解法は若干トリッキーだと思います。どちらも頻出な解法(定石)ですが。
pipiさんの解答はどちらかというと
tの関数を定数で評価する、という大切な考えに基づいていますから、それに近い考えが定数分離ですよ、というくらいに考えてもらっていいと思います。