Question

ゲスト

ノート書いてあるように考えたんですけど、この時∫f (x)dxのf(x)のところが置き換わっただけでdxは変わってないような気がします。
僕が考えたものだと
∫f(x)dx=∫f(g(t))・g'(t)dxになってしまうんですがどこでdxをdtに変えればいいんでしょうか。どこで間違えたのかわかりません。
形式的にdx/dt～みたいなのがあるんですが、形式的にじゃなかったらどうなるんですか。
今までそういうものとしてやってきましたがやっぱりどうにも納得できません。誰かわかる方がいらっしゃったら教えてください。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

mallow

解説には考え方が2つ書いてあるみたいですね。私は専ら②の考え方で解いているので、①はかなり微妙です...すみません。
dtやdxなどは微分の定義に関わるので、｢形式的｣という書き方をしているみたいですが、要するにdtやdxも数字と同じように掛けたり割ったりできるので、移行しただけです。
うーん、文字に起こしてみるとわかりずらいですね...

ゲスト

ありがとうございます。
僕も解くときは2でといているんですが、2は移行してそうなったものを適当な場所に当てはめたってことですよね。
別のある教科書には形式的にそうおき変えてやると
∫f(x)dx=∫f(g(t))g'(t)dt
が覚えやすいと書いてあって
「へぇそうなんじゃ」ぐらいでやっていたんですが、僕がノートに書いたものと合わせたときdxからdtへの変換がこれをあわせるとうまくいかないんでおかしいなぁと思いました。けど、1と2は別のもので
∫f(x)dxのf(x)にはF(x)をxを微分したものが入ってxの関数だからdxになり、同様にx=g(x)F(g(t))をtで微分したものでtの関数だからdtになったでいいんでしょうか。
∫dxのdxの説明をどこかで見た気がするんですが見つけられなかったのでもしわかるのであれば教えてください。
再度の質問を長々とすみません。

mallow

そういった解釈で大丈夫だと思います。
dxのdは微分の頭文字で、
dx全体で｢極小のxの変化量｣という意味になります。
微分のdxも積分のdxも同じ意味で、定義や何かを考慮するとlimや∑の話になりますが、要するにy(f(x))をxで微分（積分）しますよって言っているようなものだと思ってます（笑）
１はyを丸ごとtで微分していますが（その後tで積分し直している）、２はxをtで表した時、dxをdtとtで表すとこうなりますって感じで、別々に置き換えてるって言った方がいいですかね...
こちらこそ長くなりました。
的外れでしたらすみません。

ゲスト

詳しく説明ありがとうございます。
聞きたいことが聞けました。

Answer 2

馬鹿バカボン

こうやって考えるとわかりやすいと思います。
さらに一般的な証明はちょっと複雑なので省きました。

ゲスト

ありがとうございます。