Question

ぺらっぷ

答は4です。
ちなみに、合同式を用います。
お願いします。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

上の方と一部似ていますがこんなやり方もあります

mod12として、
2000²⁰⁰⁰≡8²⁰⁰⁰
ここで、
8²≡4 より
8³≡8
なので、両辺に8ⁿ⁻¹をかけると
8ⁿ⁺²≡8ⁿ
つまり、8ⁿを12で割った余りは8と4が交互に現れます。ゆえに
8²⁰⁰⁰≡8¹⁹⁹⁸
≡8¹⁹⁹⁶
≡⋯
≡8²≡4

gößt

或いは、別解として2000も12も4の倍数なので4で割ったものを考えることもできます。つまり
2000²⁰⁰⁰≡? (mod12)
を求めるために全体を4で割って
500×2000¹⁹⁹⁹≡? (mod3)
を調べます

mid3なら優しいと思います
500≡-1 (mod3)
2000≡-1 (mod3)
なので、
500×2000¹⁹⁹⁹
≡(-1)×(-1)¹⁹⁹⁹
≡1 (mod3)
となります
500×2000¹⁹⁹⁹≡1 (mod3)
なので4をかけて
2000²⁰⁰⁰≡4 (mod12)
です

※解答中に用いた
a≡b (mod(c)) ⇔ na≡nb (mod(nc))
ですがこれは合同式の定義から容易に得られます

ぺらっぷ

ありがとうございます！
なんとなく理解できました。