(証明)5で割った余りで分類すると
n＝5k,5k＋1,5k＋2,5k＋3,5k＋4(kは整数)
n＝5kのとき (与式)＝25k^2＋5k＋1＝5(5k^2＋k)＋1より5の倍数でない。
n＝5k＋1のとき (与式)＝25k^2＋5k＋1＋5k＋1＋1＝5(5k^2＋2k)＋3より5の倍数でない。
n＝5k＋2のとき (与式)＝25k^2＋20k＋4＋5k＋2＋1＝5(5k^2＋5k＋1)＋2より5の倍数でない。
n＝5k＋3のとき (与式)＝25k^2＋30k＋9＋5k＋3＋1＝5(5k^2＋7k＋2)＋3より5の倍数でない。
n＝5k＋4のとき (与式)＝25k^2＋40k＋16＋5k＋4＋1＝5(5k^2＋9k＋4)＋1より5の倍数でない。
よって、n^2＋n＋1は5の倍数でない q.e.d
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