Question

れい

数学IIIの微分の単元です。

曲線y=x^4においてy"=0となる点(0,0)は変曲点ではなく、グラフの形としては下に凸のグラフになると思うのですが、なぜ点(0,0)でy"=0になってしまうのでしょうか。
似たような下に凸のグラフのy=x^2は常にy">0なので下に凸で変曲点なしと直ぐに分かるのに、どうしてy=x^4になるとy"=0となるxの値が出てきてしまうのですか。
第二次導関数は元の関数の接線の増減を表し、y=x^4においても常にy">0で下に凸になるような感覚があるので、ふと疑問に思いました。

第2次導関数 数学iii 微分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

うまい説明ではないかもしれませんが

y"というのはdy'/dx、つまりy'の一階導関数ですから、
y">0 ⇔ y'がその点で増加している
y"=0 ⇔ y'はその点で変化なし
ということです。もう少し言い換えると、
y">0 ⇔ yの傾きがその点で増加している
y"=0 ⇔ yの傾きはその点で変化なし
となります

y=x⁴ は x=0 において傾きがほぼ変化しないため、y"=0 となってしまうのです

実際にグラフを見てみると、y=x² のグラフは拡大してみると割と反っているのに対して、y=x⁴ のグラフは原点付近でほぼ真っ平らなことがわかります

れい

確かにy=x^4はy=x^2と違って凸になっている部分が潰れたようになっていますね。それにより傾きの変化がなくなってしまうんですね。
なんとなく分かりました。回答ありがとうございます。