✨ ベストアンサー ✨
f(3)=9a+3b
f(4)=16a+4b
f(5)=25a+5b
(1)とりあえずbを消去する方法を考えます
f(4)-f(3)=7a+b
f(5)-f(4)=9a+b
なので下から上を引くと
f(5)-2f(4)+f(3)=2a
f(3), f(4), f(5)は整数だったので2aも整数です
2aも方針はだいたい同じです
f(5)-f(3)=16a+2b
なのでf(4)からこれを引けば2bが整数であることがわかります
最後に、
a+b=f(3)-8a-2b
f(3), 2a, 2bが整数だったのでa+bも整数です ◻︎
(2)(1)で出てきた2a,2b,a+bが登場するように式変形します
f(n)=an²+bn
=(a+b)n²-bn²+bn
=(a+b)n²-bn(n-1)
n(n-1)は連続する整数の積なので偶数となり、
n(n-1)=2m (mは整数)
と表せる。よって
f(n)=(a+b)n²-2bm
したがってnが整数のとき、a+b, 2bが整数であることからf(n)も整数 ◻︎
