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不定方程式から
13x≡5 (mod9)
≡104 (mod9) ←5+9×11
⇔x≡8 (mod9) ←13と9は互いに素だから
よってxは任意の整数tで
x=9t+8
と表せることが必要条件です
これを元の式に代入すると
13(9t+8)-9y=5
⇔9y=(13×9)t+13×8-5 ←13×8-5=99
⇔y=13t+11
でこれが十分条件となります
よってx,yの全体は任意の整数tを用いて
(x,y)=(9t+8,13t+11) ...①
と表せます
ここで
(x-30)(y-30)を最小にする時、x-30とy-30のうち片方が負の数になっていることが必要です
よってそれぞれ①に代入して
9t+8-30=9t-22 ←x-30
13t+11-30=13t-19 ←y-30
ここでどちらかが負の数になるのはt=2の時のみです
(雑に書きましたがきちんと書くならx-30、y-30それぞれにおいて負になるためのtの条件を調べてどちらかしか負にならないtの条件を調べれば書けますが、そこまでする必要は無いと思います)
よって①にt=2を代入して
x=26
y=37
が答えだと思いますがどうでしょうか
ありがとうございます🙇♀️