解答の3行目は同値ではありません。
例えば a = 1, x = 4, b = 5 とすると
a ≤ x ≤ b, a < 2 < b を満たしていますが
-|a - 2| + 3 ≤ -|x - 2| + 3 ≤ -|b - 2| + 3 とはなりません。
値域が 2 - a ≤ x ≤ b なので、f(x) = -|x - 2| + 3 が a ≤ x ≤ b において最大値と最小値を持つならば
(最大値) = b, (最小値) = 2 - a となります。
これによって a, b が求まります。
以下は y = -|x - 2| + 3 のグラフを見るとすんなり理解できると思います。
a < 2 < b のとき a ≤ x ≤ b において f(x) は常に最大値3を持つので b = 3 とすぐにわかります。
あとは a ≤ x ≤ 3 における f(x) の最小値を求めれば終わりです。
f(x) = f(3) = 2 となる3以外のxを求めると x = 1 なので、a < 1 と 1 ≤ a で f(x) の最小値が変わります。
よって場合分けする必要があります。
ありがとうごさいす！
言われてみればそうですね。
でも、そのあとどうすればいいのやらわかりません。
取り敢えず、b＝3ってのはわかるんですけど、aの求め方がわかりません。
解説では、1≦a<2のときと、a<1ときで場合分けしているのですが、なぜそのような場合分けをするのでしょうか？