Question

かいちゃん

お願いします！！！

0,0 1を
や 人言に5点 A(1. 0, 0), B(0, 1 0, C(1 0 0』P(0 一0, R(0.0. D

頂点とする四狗台E アがあり, 正四面体PBCE が の外部にできるように点P を定め
る。

(⑰) Pの座標を求めよ.
(2) Pは平面 ABE 上にあることを示せ.

Answer 1

チャート

(1)点Pの座標を(x、y、z)とおくと、PBCEは正四面体
なので、PB=PC=PE=BEと、BE=√2 より、
x^2 +(y−1)^2 +z^2 = 2 …①
(x+1)^2 +y^2 +z^2 = 2 …②
x^2 +y^2 +(z−1)^2 = 2 …③

①−②より、x^2 +(y−1)^2 −(x+1)^2 −y^2 =0
これを解いて、y=−x …④
②−③より、(x+1)^2 +z^2 −x^2 −(z−1)^2 =0
これを解いて、z=−x …⑤
④、⑤を①に代入して、
x^2 +(−x−1)^2 +(−x)^2 =2
これを解いて、x=−1、1/3

それぞれの場合の点Pの座標は、
(−1、1、1)、(1/3、−1/3、−1/3)
ただし、後者は、四角錐Vの内部にあるので不適。
前者は、四角錐Vの外部にあり、条件を満たす。

よって求める点Pの座標は、(−1、1、1)

(2)点Pが平面ABE上にあるとき、
AP^ = sAB^ +tAE^ (^はベクトルを表すとする)
これを満たす実数s、tが存在する。

AP^=(−2、1、1)、AB^=(−1、1、0)、
AE^=(−1、0、1)より、
(−2、1、1)=1・(−1、1、0)+1・(−1、0、1)が成り
たつ実数s=1、t=1がたしかに存在する。

よって点Pは平面ABE上にある。

間違ってたらすみません。

かいちゃん

丁寧にありがとうございます🥺