Question

のどあめ

証明が全然わかりません……
教えてください！！

! 関数 GOニー6z2二9x がある。曲線 ッー7(>) 上の点 (/。/(⑰り) (90<:ご2)
欠をのとする。

接線の方程式を を用いて表せ。

接線のの方程式を =9(?) とする。 0ミzる2 において, 2(⑦⑫) ミア(7) が成り立つこ
とを示せ。

0るミ%ミ7 においで』タニナ(6②) のグラフと直線2。 およびヵ軸で囲まれる部分の面積を
3 とする。S() 1 となる7は1 より小さいことを示せ。

証明 微分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

どこから分からないのですか？

のどあめ

接線lの方程式をtを用いて表わせ
まではできました。
あとのふたつがわかりません……

gößt

<2つめ>
g(x)≧f(x) の形の証明は g(x)-f(x)≧0 を示すのがやりやすいです
g(x)-f(x) を微分してグラフを描いてもいいのですが、y=g(x) は y=f(x) に x=t で接しているため g(x)-f(x) が (x-t)² で割り切れることを利用することもできます
(解)
g(x)-f(x)
＝{(3t²-12t+9)x-2t³+6t²}-(x³-6x²+9x)
＝-x³+6x²+(3t²-12t)x-2t³+6t²
＝-(x²-2tx+t²)(x+2t-6)
＝(x-t)²(6-2t-x)
0≦x≦2 において、
6-2t-x≧6-2t-2
=4-2t
≧4-2•2 (t<2より)
=0
また、(x-t)²≧0 であるから、
g(x)-f(x)≧0
よって、g(x)≧f(x) ◻︎

<3つめ>
図を描いてみると、S(t) は 0≦t≦2 において単調増加であることが期待できます。そこで S(t) を微分して増加関数であることを示して、S(1)>1 であることを示せばよいです
(解)
S(t)＝∫[0,t]{g(x)-f(x)}dx
＝∫[0,t]-(x-t)²(x+2t-6)dx
＝-∫[0,t](x-t)²{(x-t)+(3t-6)}dx
＝-∫[0,t]{(x-t)³+(3t-6)(x-t)²}dx
＝-[(1/4)(x-t)⁴+(t-2)(x-t)³][0,t]
＝(1/4)t⁴-(t-2)t³
＝-(3/4)t⁴+2t³
(∫(x-a)ⁿdx の計算を習っていない場合は被積分関数を展開して積分してください)
ここで、
S'(t)＝-3t³+6t²＝3t²(2-t)
であり、0<t<2 であるから S'(t)>0
よって S(t) は単調増加である
S(1)=5/4>1 であるから、S(t) の単調性より S(t)=1 となるtは1より小さい ◻︎

のどあめ

ありがとうございます！助かりました！！