基本的な事柄から
数列x[n], y[n]に関して
①Σは数列の和を表す. すなわち
Σ[k=1->n]x[k]=x[1]+x[2]+…+x[n]
Σ[k=1->n]y[k]=y[1]+y[2]+…+y[n]
②定数倍や和に関して
Σ[k=1->n]a*x[k]=a*x[1]+a*x[2]+…+a*x[n]=a(x[1]+x[2]+…+x[n])=aΣx[k].
Σ[k=1->n](x[k]+y[k])=(x[1]+y[1])+(x[2]+y[2])…+(x[n]+y[n])
=(x[1]+x[2]+…+x[n])+(y[1]+y[2]+…+y[n])=Σx[k]+Σy[k].
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この問題だと
Σ[k=1->n](k^2+k)=Σk^2+Σk
ここでΣk^2=n(n+1)(2n+1)/6, Σk=n(n+1)/2[公式として覚えている]なので
Σ[k=1->n](k^2+k)={n(n+1)(2n+1)/6}+{n(n+1)/2}
={n(n+1)/6}*(2n+1+3)=n(n+1)(n+2)/3
とするのが普通の教科書や参考書の解答でしょう.
***
公式についてですが
昇順Σk=1+2+…+nと降順Σk=n+(n-1)+…+1のものを用意して足す[ガウスが1から100までの和を計算した逸話].
そうすると2Σk=(n+1)+(n+1)+…+(n+1)[n+1がn個ある]=n(n+1)⇔Σk=n(n+1)/2
Σk^2については畳み込み級数の方法を使うのが分かりやすいです.
(k+2)(k+1)k-(k+1)k(k-1)=3k(k+1)⇔k(k+1)={(k+2)(k+1)k/3}-{(k+1)k(k-1)/3}
という恒等式が成り立つ. これを利用して
Σk(k+1)=Σ{(k+2)(k+1)k/3}-{(k+1)k(k-1)/3}=(1/3)Σ(k+2)(k+1)k-(k+1)k(k-1)
=(1/3)[{(1+2)(1+1)1-(1+1)1(1-1)}+{(2+2)(2+1)2-(2+1)2(2-1)}+{(3+2)(3+1)3-(3+1)3(3-1)}+…{(n+2)(n+1)n-(n+1)n(n=1)}
[具体的に書くと分かると思いますが(k+2)(k+1)kと次の項にある-(k+1+1)(k+1)(k+1-1)が打ち消しあいます. このような級数を畳み込み級数といいます.]
=(n+2)(n+1)n/3
したがって
Σk^2=(n+2)(n+1)/3-Σk=(n+2)(n+1)n/3-n(n+1)/2={n(n+1)/6}*{2(n+2)-3}=n(n+1)(2n+1)/6
と求まります.
この考え方を応用するとΣk^5やΣk^7などを求めることが出来ます[確かどこかの入試問題にあったと思います.].
***
級数の公式もただ漫然と覚えるのでなく, どうやって導いたのか理解することが大事です.
導出に隠された考え方が新しい問題に遭遇した際に役立ってくれます.
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