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(1)4∊A⋂B⇔4∊A かつ 4∊B, すなわち集合Aと集合Bが共に4を含むためには5a-a^2=4であることが必要十分条件である.
5a-a^2=4⇔a^-5a+4=0⇔(a-1)(a-4)=0⇔a=1,4
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(2){4,6}∊A⋂Bは集合Aと集合Bが共に4と6を包含することを意味する.
(1)より少なくともa=1,4であることが必要で, a=1のときA={2,4,6},B={2,3,4,b+1}, a=4のときA={2,4,6},B={3,4,11,b+4}となる.
集合Bは6も包むのでa=1のときb+1=6⇔b=5, a=4のときb+4=6⇔b=2であれば必要十分となる.
以上からa=1, b=5のときA∪B={2,3,4,6}, a=4, b=2のときA∪B={2,3,4,6,11}.
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A⋂Bは集合Aと集合Bの共通集合, A∪Bは集合Aと集合Bに含まれるすべての要素集合を意味します[定義].
与えられた条件から絞っていくのですが, 何が必要条件なのかをよく考えましょう.
(2)は(1)のヒントになっています. 少なくとも→部分的に絞る→残りを絞る, という論理構造をしっかり理解してください.
a=1のときA∩B={2,4,6}なので十分ではない,という確認を忘れていました.
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(2){4,6}∊A⋂Bは集合Aと集合Bが共に4と6を包含することを意味する.
(1)より少なくともa=1,4であることが必要で, a=1のときA={2,4,6},B={2,3,4,b+1}, a=4のときA={2,4,6},B={3,4,11,b+4}となる.
a=1のときは2がAとBの共通要素になっているので棄却される[十分性の確認].
また集合Bは6も包むのでa=4のときb+4=6⇔b=2であれば必要十分となる.
以上からa=4, b=2のときA∪B={2,3,4,6,11}.
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ありがとうございます😭