Question

ゲスト

写真の(2)で模範解答の一番下のマーカー部分がよくわかりません。
なぜ1以外に正の約数があり、矛盾したことで√3が無理数であることが証明されるのでしょうか。
だれか解説お願いします。

*108 次の問いに答えよ。
(1) ヵは整数とする。対偶を利用して。 次の命題を証明せよ。
7* が 3 の倍数ならば, ヵ は 3 の倍数である。
(2) (1) を利用して, /3 が無理数であることを証明せよ。 一藻p66

と表すことができる。
このとき  V82ニ
この両辺を 2 乗すると 3%*三女
よって, が? は3 の倍数である。
(1) により, *が3の倍数ならば, 婦 ば8
数であるから

如三3を (んは自然数)
と表される。                を
この両辺を 2 乗すると 2=9&2 .…
①, ②から 3z2=942   すなわち。
よって, %2は3の倍数となり。(1) により
3 の倍数となる。

9

数学a 命題と証明 無理数 証明

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

tacapick

背理法とは、仮定した条件に矛盾が生じた場合、その仮定が間違っていたことを示します。
今回の場合、有理数であることを示すために「規約分数である」ことを仮定としました。(仮に規約分数でない分数であると仮定しても、すぐに約分すれば規約分数になるので今回の仮定の形になります。)
そこで矛盾が生じたのですから当然、仮定が間違い⇒「√3は有理数である」は間違い⇒「√3は無理数」と言えます。

ゲスト

つまり仮定した条件が間違っていたため必然的に√3が有理数であることも間違いになるということでしょうか？

ゲスト

ちなみになぜ既約分数と仮定するのでしょうか？

tacapick

仮定した条件は「既に約分された分数の形」であったのに議論によって「まだ約分できる分数の形」であることがわかりました。同じ議論を延々と繰り返せばいつまでたっても√3は約分できる分数であることになりますが、さのような分数はないので、結局有理数ではないよね?という話ですかね。

tacapick

規約分数と仮定する理由は上で述べた通り、仮に規約分数でない形で仮定したとしても、それは約分すれば規約分数となるため元々規約分数で仮定した方が手間が省けるからです。また、矛盾を示すためにも規約分数であると仮定する方が無難かと思います。

Answer 2

ゲスト

端的に言えば、仮定が成り立たなくなったから。

√3を有理数と仮定して、互いに素なmとnで表せるものとしたのに、後半で両方とも3の倍数になったため、互いに素でなくなった。

矛盾が生じた＝仮定が成り立たなくなった、ということ。