Question

ももか

解説お願いします🙇🏻‍♀️ 答えは12です。

〆                                                                                         (人64)

43 ABニ6, BC=8, /B=90' である ABC の辺 AC上に点をとり, Eから辺
AB, BC にそれぞれ垂線 ED,。EF を下ろす。 長方形 BFED の面積 $ の最大値を

求めよ。

二次関数 2次関数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

△ABCと△ADE, あるいは△EFCが相似であることを利用します.
***
△ABCと△ADEに関して∠Aを共有, また点Dが点EからABに下した垂線の足なので∠B=∠ADE=90°
したがって△ABC∽△ADEがいえ, AB:AD=BC:DE⇔AB・DE=AD・BC
ここでBFの長さをxとすると, FはBC上の点なので0<x<8である.
また□BFEDは長方形だからBF=DE=x.
したがって6x=8AD⇔AD=3x/4
□BFEDの一辺DBはDB=AB-AD=6-(3x/4)
したがって□BFEDの面積S(x)は0<x<8の範囲で
S(x)=DB*BF={6-(3x/4)}x=-3/4(x^2-8x)=-3/4(x-4)^2+(3/4)*4^2=-3/4(x-4)^2+12
と表せる. これはxに関して上に凸な2次関数なので頂点のx=4のとき, 最大値12をとる.
すなわち長方形BFEDの面積Sの最大値は12

LUX SIT

[追記] 解き方の糸口が掴めてないようなので説明しましょう.
長方形BFEDの面積を求めたいので, 二辺BD[or EF], BF[or DE]を知る必要があります.
EがAC上を動けば, DはAB上を, FはBC上を連動しています.
つまりBD or BFのいずれかに未知数xを設定すれば, もう一方はxで書けるはずです.
そこで次にBDとBFの間にどのような関係があるか考えます.
そうすると解答で述べた相似の関係に気づきます.　あとは解答のように考察すると...

ももか

説明ありがとうございます！！😭😭
相似を利用するんですね！！
この解説に基づいてもう一度問題を解いてみようと思います！！！

Answer 2

ワカコ︎︎☺︎

おおまかなEのとり方としては、この3通りがあります。⑴A側 ⑵B側 ⑶中心
⑴は高さは大きいが、底辺が小さくなる。
⑵はその逆ですね
面積が最大の時、つまり高さⅹ底辺が大きくなればいい、ということ。
もちろん、6×8とできればそれが一番ですが、三角形でそれは出来ないため、、、
6と8の真ん中、3と4をかけた…ですが、確かになんで真ん中なんだろう、、
3のとき4とは限らない…かも…。
ちょっとわかんなくなってきちゃいましたすみません笑ほんと、ほんとすみません(;_;)

ももか

丁寧に写真まで付けて下さってありがとうございます！！😭 真ん中が1番面積が大きくなるんですね！！
何故そうなるかは疑問ですね、、😔
解説があったので載せておきます！💦
私は解説を読んでもあまり理解出来ません😭（笑）

ワカコ︎︎☺︎

なるほど！！解説ありがとうございます！！
理解しました！！！！！笑

どこら辺がわからないか教えて貰っていいですか？
できる限り力になりたいです🙏…💦

ももか

返信が遅くなってしまってすみません！💦
解説に急に4/3が出てきて分からなくなりました😭

ワカコ︎︎☺︎

相似なので、BC:AB=DE:ADなので、
BC:AB=8:6=4:3です！
つまりDE:ADも4:3

ももか

8:6が約分されたものだったのですね！！💦ありがとうございます！！！🙇🏻‍♀️