✨ ベストアンサー ✨
3変数を一気に相手にするのは難しいので, 1変数のみに着目して整理していきます.
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x(y^2-z^2)+y(z^2-x^2)+z(x^2-y^2)
=(z-y)x^2+(y^2-z^2)x+(yz^2-y^2z) [xに関する多項式として整理しました.]
=(z-y)x^2-(z-y)(y+z)x+yz(z-y) [(z-y)が共通因子なのが分かります]
=(z-y){x^2-(y+z)+yz} [中括弧の中身も因数分解できそうです]
=(z-y)(x-y)(x-z)
=(x-y)(y-z)(z-x).
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[別解] 因数定理と式の対称性を利用して解く方法もあります.
f(x,y,z)=x(y^2-z^2)+y(z^2-x^2)+z(x^2-y^2)★とする.
x=yならばf(x,x,z)=x(x^2-z^2)+x(z^2-x^2)+z(x^2-x^2)=0
因数定理よりf(x,y,z)はx-yを因数にもつ.
x, y, zを入れ替えてもf(x,y,z)は同じ式になるのでf(x,y,z)はx-y, y-z, z-xを因数にもつ.
またf(x,y,z)はx, y, zに関して2次式なので0ではない定数aをとって
f(x,y,z)=a(x-y)(y-z)(z-x)
と書くことが出来る. a=1のとき★と恒等式となるから
x(y^2-z^2)+y(z^2-x^2)+z(x^2-y^2)=(x-y)(y-z)(z-x)
詳しくありがとうございます！
助かりました😭