(1)方程式をグラフの共有点の問題に考え直す。→交われば解がある。
グラフをかく。
(2)0≦θ<2πで、cosθ<-1、1<cosθで解は0個、cosθ=±1で解は1個、-1<cosθ<1で2個から、aの値と共有点のcosθの値をグラフ見ながら考える。
三角関数の相互関係より、(1-cos²θ)-cosθ+a=0
移行して整理すると、a=cos²θ+cosθ-1
よって、この方程式はy=aとy=cos²θ+cosθ-1の共有点のθを求めるものであるから、この２つのグラフが交われば、この方程式は解を持つ。
y=cos²θ+cosθ-1を平方完成すると、y=(cosθ+1/2)²-5/4で、-1≦cosθ≦1より、
yは最小値-5/4で最大値1であるから、-5/4≦a≦1であればy=aと交わる。
したがって、この方程式が解を持つ条件は-5/4≦a≦1
a<-5/4、1<a で0個
a=-5/4でcosθ=-1/2だから2個
-5/4<a<-1で2箇所で交わり、かつどちらの共有点のcosθも-1<cosθ<1であるから4個
a=-1のとき、2箇所で交わり、cosθ=-1、0だから3個
-1<a<1のとき1箇所で交わり、-1<cosθ<1であるから、2個
a=1のとき、1箇所で交わり、cosθ=1だから、1個
グラフ描いてないので、ミスってたらごめんよ。
丁寧な解説、本当にありがとうございます！