✨ ベストアンサー ✨
たぶん、オーソドックスに解くしかない気がします。結構ハードですが…
現段階でどこまで解けているのでしょうか？
そこまでできているなら説明しやすいです
確認ですが、①の球の半径は√6/3じゃないですか？
①、②においてx=tとおいた式は、平面x=tと①が表す球や②が表す平面とが交わってできる領域や直線を表す式
円板Ct : (y-1/3)²+(z-1/3)²≦2/3-(t-1/3)²
直線ℓt : y+z=1-t
になりますね。下の画像のような状況になるかと思います
よってtの取りうる値の条件は、Ctが存在し、かつCtとℓtが共有点を持つ条件で表現できそうです
また、T,Uの座標はCtの境界の式とℓtの式を連立すれば得られそうです。求めたいのは
RT=√(y²+z²) (y,zはTのy,z座標)
なので、y²+z²だけ求めればいいと思います
丁寧にありがとうございます。半径は自分のミスですね。
実際にやってみるとtの取り得る値の範囲がかなり汚くなってしまって、、。なかなか最後までたどり着けません。ちなみに、この問題においてベクトルの使用は考えられますか？
とりあえずこちらでも計算してみますね
いろいろとすみません。
本当に感謝してます。
Ctが存在するための条件は(一点になることも認めれば)、
2/3-(t-1/3)²≧0
∴1/3-√(2/3)≦t≦1/3+√(2/3)
Ctとℓtが共有点を持つ条件は
(Ctの中心とℓtとの距離)≦(Ctの半径)
より
|1/3+1/3+t-1|/√2≦√{2/3-(t-1/3)²}
|1/3+1/3+t-1|²/2≦2/3-(t-1/3)²
(t-1/3)²≦4/3-2(t-1/3)²
(t-1/3)²≦4/9
-1/3≦t≦1
よってtの取りうる値の範囲は -1/3≦t≦1
Ctとℓtとの交点を(t,y,z)と置くと、
⎰(y-1/3)²+(z-1/3)²＝2/3-(t-1/3)²…①
⎱y+z＝1-t…②
①より
y²+z²-(2/3)(y+z)+2/9＝2/3-(t-1/3)²
②を代入すると
y²+z²-(2/3)(1-t)＝-t²+(2/3)t+1/3
y²+z²＝1-t²
∴RT²＝1-t²
また、
RS＝|0+0+t-1|/√2＝(1-t)/√2
以上より、求める回転体の体積は
∫[-1/3,1]π(RT²-RS²)dt
＝π∫[-1/3,1]{(1-t²)-(1-t)²/2}dt
＝(16/27)π
一応答えが出ましたが、いかんせん図形がイメージできないのであまり確信は持てないです。また、幾何的なイメージができる人ならもっとスマートに解けるかもしれませんが私は計算でどうにかするくらいしか思いつきませんでした
ベクトルの使用についてですが、それもできそうですね。ただこの問題では座標を使った場合とさほど変わらない気がします。どちらでも好みの方を使えば解ける、くらいかと
ミスを見つけたので解き直したら答え一致しました。解答まで作って貰ってほんとにありがとうございます。
自分は難しい問題は初見で解けることが少なく、ヒントや答えを少しみるとすんなり解けることが多いです。なかなかその差が埋まらず困っているんですよね^^;
ちなみに、東工大でこの問題が出たら差がつくレベルでしょうか？それとも東工大受験者はやはり取ってくるのでしょうか？
いえいえ(｀・ω・´)
初見で手がスラスラ動かないのはまあそういうものですね。受験までにあらゆる問題を解いて初見の問題をゼロにすればいいと思います
東工大ですか？受験業界にそこまで詳しくはないですが、個人的な印象では最後まで解ききるのはちょっと大変だと思います。近年の国公立大数学は易化傾向にあるので、差がつく問題＋αくらいの難易度と捉えてもいいのかなあと思います
ファイトです
少しだけ進みました。なんとかRSの長さは出せそうです。
しかし、RTの長さをtで表すのが難しそうです、、。
あとはtの取り得る範囲でしょうか。yz平面を境に場合分けが生じるのかどうか、分かりせん。