Question

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やり方を教えて下さい🙏💦
APと、OPの長さが同じ理由も知りたいです！
解説がなくて、例題とかを見ても少し違ってわからないです😭

(角形の内接円) 石の思で円Oは直角三角形ABCに内接する円で。
P、 QRはその接点である。BQ=ニ9cm,、CQ=6cmのと き, 次の間

いに答えなさい。
) 円Oの半径をxcmとするとき。 AB の長きをょを用いて表しなさい。                    。

LXt) cn                              ーー 9cm   Qぐecm

円0の半径を求めなさい。

A
ャへ 。

3cm

ゃ仙
@の面積を求めなさい。
tc

 

《誠 、
Reの大お2  / 還

三角形の内接円

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

タングリスニル

*は掛け算を表しています。
考え方1では、AP=OPを図形の性質を使って説明しております。
考え方2では、AP=OPを使わずに、三平方の定理に当てはめて考えています。

(考え方1)
AC、ABは円の接線であるため、
AB⊥OP
AC⊥OR
よって、∠OPA=∠ORA=90°
これより、四角形APORに着目すると
4つの角が全て等しいため、四角形APORは長方形である。
さらに、共に円の半径であるからOP=ORであり、
長方形の対辺は等しいことから
AP=OP=OR=AR
よって四角形APORは正方形である。

このことより、三角形の面積は
(9+x)*(6+x)/2
でありまた、線分AO、BO、COを引き
△ABO、△BCO、△ACOの面積を考えることによって
△ABCの面積を求めることもできる。
つまり、
△ABCの面積
=x*(x+9)/2+15*x/2+x*(x+6)/2
=x*(x+15)

どちらも△ABCの面積なので、
(9+x)*(6+x)/2=x*(x+15)
x=3、面積=54

(考え方2)
AP=AR=yとする。

三平方の定理より
(9+y)²+(6+y)²=15²
⇔2y²+30y+117-225=0
⇔y²+15y-54=0
⇔y=-18、3
yは正であるからy=3

次に三角形ABCの面積を2通りの求め方で表すことにより
xとyの関係を示す。

△ABCの面積
=(9+y)*(6+y)/2
である。

また、線分AO、BO、COを引き
△ABO、△BCO、△ACOの面積を考えることによって
△ABCの面積を求めることもできる。
つまり、
△ABCの面積
=x*(y+9)/2+15*x/2+x*(y+6)/2
=x*[(y+9)+15+(y+6)]/2
=x*(2*y+30)/2
=x*(y+15)

よって、共に△ABCの面積であるから
(9+y)*(6+y)/2=x*(y+15)
ここで、y=3であるから代入してxを求めると
x=3、面積=54

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1つ目の考え方で、どうして長方形な対辺は等しいのでしょうか？？

タングリスニル

長方形は平行四辺形の仲間です。
平行四辺形の正方形には
対辺が等しい
というのがありましたよね。

タングリスニル

正方形×→性質○

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あーーー！分かりました！ありがとうございます😭💗

Answer 2

mo1

円外の1点から引いた接線の長さが等しいので
　ＡＲ＝ＡＰ･･････①
　ＢＰ＝ＢＱ＝9･･･②
　ＣＱ＝ＣＲ＝6･･･③

仮定とＡＰ，ＡＲは接線であることと①から、
　四角形ＡＰＯＲは正方形となり
　ＯＰ＝ＡＰ＝x･･･④

②④から
　ＡＢ＝ＡＰ＋ＢＰ＝x＋9

同様にして
　ＡＣ＝x＋6

三平方の定理を利用して
　(x＋9)²＋（x＋6)²＝(9＋6)²

方程式をx＞0の条件で解いて
　x＝3

ＡＢ＝9＋3＝12、ＡＣ＝6＋3＝9、∠ＢＡＣ＝90°で
　△ＡＢＣ＝(1/2)×12×9＝54

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ありがとうございます！