①∠BFDについて
△BFDで3辺の長さが全て分かっているので、余弦定理を用いると、
cos∠BFD=BF²+FD²-BD²/2×BF×FD
ですから、cos∠BFD=3+4-7/2×√3×2=0
となります。cos∠BFDが0になるとき、∠BFDは90°か270°ですが、三角形の内角の和は180°ですから、必ず0°＜∠BFD＜180°ですよね。よって、この範囲を満たす∠BFDの大きさは90°なので、∠BFDの大きさは90°と出ます。
②cosθ'について
直角三角形におけるcosθは、直角以外の鋭角をθと置いた場合、そのθという角度をなしている2辺の大きさで表すことができましたよね。2辺のうち、上の方ある辺の大きさをa、下の方にある辺の大きさをbとすると、b/aです。これは、三角形において、右下の角が90°、左下の角がθと見る見方の時に成り立つものでしたね。先程、△BFDは直角三角形とわかったので、∠DBF=θ'をなしている2辺、すなわち、辺BDとBFの長さでcosθ'を表すことができますね。辺BFより上側に頂点Dがあるという見方をしてやると、右下に90°が、左下にθ'が来ます。あとは、θ'をなす上の方の辺BDの大きさを分母に、下の方の辺BFを分子に当てはめればcosθ'が出ますね。よって、cosθ'=BF/BDとなります。
長くて煩雑な説明ですいません。
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