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mを求めればいいのでしょうか？
その場合であれば、
与式=－（x²－2x）－m（2－m）
=－｛（x－1）²－1｝＋m²－2m
=－（x－1）²＋m²－2m＋1
この式より問いの2時関数の情報がある程度分かりました。
頂点の座標（x,y）=（1,m²－2m＋1）
この問題ではx座標だけ分かれば解けます。
頂点のx座標が1なので問いの条件より、－1≦x≦2の範囲ではx=－1が頂点から1番離れているのでx=－1で最小値を取ることがわかります。
これよりx=－1の時のyの値を正にしてあげれば－1≦x≦2全体が正を取ることになります。
x=－1の時のyの値は
y=m²－2m－3
=（m－3）（m＋1）≧0となればよい
よって－1≦m≦3
この形の問題は何処が1番小さいかを考えてあげればわかりやすいです。
これからも数学を頑張って下さい。
