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図が汚いのは申し訳ないです。
イオン結晶の物質は自身とは異なる符号のイオンが前後左右上下に配置して結晶ができています。(図1では断面図を書いた)
図1の状態で有れば安定なのですが、図2→図3のように陽イオンがどんどん小さくなると、図のように異符号のイオン同士が接触しなくなり、そのイオン結晶は不安定となります。なのでそうなった場合、それぞれのイオンは同符号同士が接触しないようにより配位数の小さい構造へと変化します。
ではそのイオン結晶(今回の場合は面心立方格子)が存在できるギリギリの場合はどれなのかと言うと、図2の陰イオンが陽イオンと陰イオン両方に触れている時が限界になります。この時の陽イオン(半径をaとする)と陰イオン(半径をbとする)の比 a/bのことを限界半径比と言います。
面心立方格子は横から見ると図4のようになります。陰イオンが陽イオンと陰イオンどちらにも触れているのでこれが限界の状態となります。
立方格子の1辺の長さをdとすると図4からd=2(a+b)…①
となります。
また、対角線の長さから√2×d=4b…②
と求まります。②に①を代入すると√2(a+b)=2b
両辺を2bで割ると(a+b)/b=√2
つまり(a/b)+1=√2からa/b=√2 -1…③となります。
先程の図で説明した通り、陽イオンが小さくなったり、逆に陰イオンが大きくなったりするとこの限界を超えてしまうので、面心立方は崩れてしまいます。つまり③の式で言うと、分子のaが小さくなったり分母のbが大きくなってはいけないという事です。つまりa/b > √2 -1が限界半径比の関係となります。
