Question

りっ君

河合塾模試過去問。
整数の性質。
答えを噛み砕いて教えて欲しいです。
2^4と7^2で考えるのかと思ったら式を見る限り11とか3とかでてきて？？？となってます。

(1) 784 を素因数分解す
784 中<。

であり, Z84 の正の約数の個数は | エオ である。

 

 

 

 

の個数が | エオ | である 8 桁の正の整数は四つあり, それらを小さW衣

 

 

に並べると

144。 [カキク| 400, 784

である。

から大

 

(数学1 ・数学A 第4問 は次ページに続く。)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

HS

(1)784=2^4×7^2の正の約数は5×3=15個。

(2)は(1)の「15個」から発展した話題であって、
784はすでにメインの話ではなくなっていますので、
784の素因数2と4はもはや直接関係ありません。

2^4×7^2の正の約数が(4+1)(2+1)=5×3=15個
であるように、正の約数が15個になる正の整数は
●^14か、○^4×△^2しかありません。
（15の素因数分解が5×3しかないから、
　3数以上の積にはできない）
当然ながら●○△は1でない。○△は異なる素数。

さらにこの整数が3桁ということを踏まえて
●○△に数を当てはめていきます。
2^14は1000超でダメ。●^14のパターンはなし。
○^4×△^2のパターンしかない。
2^4×3^2=16×9=144
2^4×5^2=16×25=400
2^4×7^2=16×49=784
2^4×11^2=16×121 これは1000超。
これ以降は2^4パターンはなし。

3^4×2^2=81×4=324
3^4×5^2=81×25 これは1000超。
これ以降は3^4パターンはなし。

5^4×2^2=625×4 これは1000超。
これ以降の5^4、7^4、…パターンはすべてなし。

りっ君

ありがとうございます！分かりやすかったです。
前の数字に囚われていたようです

Answer 2

ゆうちん

（2,11）の部分は条件下において、11以上の数は有り得ないということの証明みたいなの物です、同様に（3,5）以上の数も有り得ない、(5,q)の時点でもはや3桁を超えてしまっているのでp<5であるということを言っているだけだと思います

りっ君

回答してくださりありがとうございます！

Answer 3

ゆうちん

指数の約数は15という条件から指数の数は絞られます
指数の数+1をそれぞれかけた物が15となるため、次の2通りの組み合わせができます
(0+1)(14+1)、(2+1)(4+1)
つまりx^14、y^0とx^2、y^4ということになります
文中にも示されているとおり、x=2の時、3桁を超えてしまっているので違うことがわかります
次にx^2、y^4について考えます
これら2つの数は互いに素であることを念頭に入れておくと分かりやすいと思います
後は順番に互いに素の数を当てはめて、144と400の間にある数を求めるだけです
後半の2000超えの奴はセンター入試において答える分には必要無いかと思われます