上手く言えるか分かりませんが。
Aさん、Bさんは最低でも1つ石をとらなければならないので、このゲームは最長50ターンで終了します。
ここで、Nの約数は有限ですのでそれぞれの約数に対して考えられる取り方を樹形図的に枝分かれさせながら書いていけば必ず腕が50本以内で収まる樹形図が理論上、描けることが分かります。
そして、その樹形図を反対から読んでいけば、Aさん、Bさんはそれぞれ自分が絶対に通ってはいけない道、すなわち袋小路となる道を把握できます。
ここで、ある自然数Nに対して先手必勝、後手必勝のどちらでもない場合があると仮定してみます。
すると、Aさん、Bさんはそれぞれ袋小路にならない道、すなわち相手に必勝形を選択されない樹形図上の道を常に選択することができます。
また、このゲームは有限回で終わるものでしたので、どちらかが最後の1つを取ることは確定しています。すると、仮定より最後の1つを取るその瞬間までAさん、Bさんの勝敗が確定されないということになります。(もし、数手前で分かるなら、そもそも最初の時点でその道を相手に選択させないから)
しかし、これは明らかにゲーム性からありえない事です。
よって、矛盾となりこの仮定は誤りなので、全ての自然数に対してどちらかが必勝形となる事が分かります。
もっとスマートな方法は必ずあると思いますが、とりあえずこれでも大丈夫だと思います。😀
すみません、腕が50本ではなく99本でした。
(Aさん、Bさんが共に1つずつ取る場合)