Question

蓑

恒等式の係数比較法と数値代入法の使い分けはどういう風にすれば良いのでしょうか？
問題の例とかで教えて頂けたら嬉しいです！

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Jin

迷ったときは係数比較法で考えてしまっていいです。
変数xに適当な値を入れていくつかの項が消えるような場合は数値代入法も考えられますが、十分性を確かめる必要があったりと論述で減点されやすい解法です。
係数比較法は論述がかんたんな上、ベクトルや複素数平面などいろいろな場面で使うので慣れやすいという利点もあります。

蓑

なるほどです！スッキリしました!!ありがとうございます！

Answer 2

なすび

前提として、
係数比較法では、必要十分条件で考えられるので逆のチェックはしなくてよいのですが、数値代入法ではある値に対してのみ成り立っている可能性があるため、逆のチェックが必要となりますので、特に楽になる場合以外は係数比較法でする方が減点されなくていい思います。
簡単な例だけあげておきます！

問(係数比較法)
次の式がxについての恒等式となるようなa,b,cの値を求めよ
2x^3 +2x^2 +ax +b=(2x^2 +1)(cx+d)

解
(右辺)=2cx^3+2dx^2+cx+d
両辺の係数を比較すると、
2=2c 2=2d a=c b=d
したがって、a=1,b=1,c=1,d=1

問(数値代入法)
次の式がxについての恒等式となるようなa,b,cの値を求めよ
2x^2+2x+3=a(x-2)(x+3)+b(x-2)+c(x+3)(x+1)

解
x=2を代入すると、15=15c ∴c=1
x=-3を代入すると、15=-5b ∴b=-3
x=-1を代入すると、3=-6a-3b=-6a+9 ∴a=1
逆にこのとき、
(右辺) =(x-2)(x+3)-3(x-2)+(x+3)(x+1)
=x^2+x-6-3x+6+x^2+4x+3
=2x^2+2x+3
=(左辺)
よって、a=1,b=-3,c=1

蓑

問題の例まで付けて頂いてありがとうございます！
とても分かりやすいですありがとうございます！