使うのは
a>b,c>dならばac>bdである。みたいな不等式の基本の性質です！！
これによって
a+b≧2√ab, b+c≧2√bcならば
(a+b)(b+c)≧4√ab×bc
また
(a+b)(b+c)≧4√ab×bc, c+a≧2√caならば
(a+b)(b+c)(c+a)≧8√ab×bc×ca
≧8abc
という感じになります！！
a+b≧2√ab（等号成立はa=b）
b+c≧2√bc（等号成立はb=c）
c+a≧2√ca（等号成立はc=a）
これらより
(a+b)(b+c)(c+a)≧8√ab×bc×ca（等号成立はa=b=c）
となります！
a+b≧2√ab（等号成立はa=b）の証明
両辺を二乗すると
a^2+2ab+b^2=4ab
a^2+b^2=ab+ab
したがってab=a^2=b^2
よってa=b
すなわちa=bのとき等号成立
分かりました！！
あと、ａ=ｂ=cのとき成り立つっていうのは、どうやったら出てきますか？