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|logx|+|log2y|=1より
0≦|logx|≦1
0≦|log2y|≦1
がわかります。
このことから題意のとき
1≦a≦e
1≦2b≦e
です。
loga+log2b=log(2ab)
より
2ab=e
a=0とすると0=eより不合理だからa≠0
よってb=e/2a

どっちか片方0とみなすのがミソなんですね!

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