Question

まなみ

微分のところです

(1)と(2)できれば両方とも教えて貰いたいです🙇‍♂️
お願いします

四還還
*384 *>0 のとき, 次の不等式が成り立つことを証明せよ。

3
(1) sinzく*                       (⑫)  *ー令<sinr

数ⅲ 数3 微分 不等式 証明 不等式の証明

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

moconomics

(1)f(x)=x-sinx
と置きます。
f'(x)=1-cosx
-1≦cosx≦1より
f'(x)≧0
よってf(x)は単調増加します。また、x=0のとき
f(0)=0-sin0=0より
x≧0においてf(x)≧0
よってx>0のときf(x)>0であるから
sinx<xが成立します。

(2)f(x)=sinx-x+x^3/6と置きます。
f'(x)=cosx-1+x^2/2
f''(x)=-sinx+x
(1)よりf''(x)≧0
したがってf'(x)はx≧0で単調増加となります。
また、
f'(0)=cos0-1+0^2/2=1-1=0より
f'(x)≧0であるからf(x)はx≧0で単調増加となります。
また、
f(0)=sin0-0+0^3/6=0
より
x≧0においてf(x)≧0
従ってx>0においてf(x)>0であるから、
x-x^3/6<sinxは成立します。

まなみ

ありがとうございます！！