Question

こじろう

教えて欲しいです！

次の問いに答えよ。
(① ヵみは整数とする。 対偶を利用して, 次の命題を証吸せよ。

2 が 3 の倍数ならば, ヶ は3 の倍数である。
(② 彰理法を用いて, 3 が無理数でわるこ とを証唄きよ。

Answer 1

ｸｼｬﾐ

(2)背理法とは、
√3が無理数でないすなわち有理数である
と仮定すると、矛盾が生じる。という証明の仕方です

次のように証明します。
√3が無理数でないすなわち
有理数であると仮定すると、
互いに素である有理数ａ、bを用いて
√3=ａ／bとおける。
両辺を二乗すると、
3=ａ²／b²
よって、ａ²=3b²･･･①
ゆえに、ａ²は3の倍数であるから、
(1)よりａは3の倍数である。
よって、ａ=3c(cは有理数)とおける。
これを①に代入すると、
(3c)²=3b²
よって、b²=3c²
ゆえに、b²が3の倍数であるので、
bは3の倍数である。
ここで、ａとbは互いに素であるということに
矛盾が生じたので、命題は偽である。
よって、√3は無理数である。

こじろう

ありがとうございます！

Answer 2

ｸｼｬﾐ

命題の対偶はｎが3の倍数でないならば、
ｎ²は3の倍数でない。となって、
ｎ=3ｎ＋1、ｎ=3ｎ＋2で、
全ての3の倍数でない数が
表されるので、それを使って証明するとできます。

ｸｼｬﾐ

modを習っているならそれでもできます。

こじろう

すみません、どんな感じでかけばいいんでしょうか

ｸｼｬﾐ

ひとつだけやると、
ｎ=3ｎ＋1のとき
ｎ²=(3ｎ＋1)²=9ｎ²＋6ｎ＋1=3(3ｎ²＋2ｎ)＋1
よって、ｎ²は3の倍数でない。

ｎ=3ｎ＋2も同様にやります！

Rinno777

失礼いたします。

n=3n+1,n=3n+2
と、nをnで表すのは良くないので、
n=3k+1,n=3k+2 (kは整数)
とおくのが良いです。

ｸｼｬﾐ

確かにそうですね。
訂正ありがとうございます

こじろう

なるほど！ありがとうございます！！