Question

なず

陰関数の中の変数の最大最小値の問題です。

判別式と偏微分での解き方はわかるんですが、平方完成では解けますか？
https://mathtrain.jp/quadratic
ここで判別式の本質は平方完成と同じって書いてあるので、平方完成でも解ける気がしますが、やり方がわからないんです。

よろしくお願いします。

(2) *, ッ が 2x"一2xy十yー2 を満たすとき, xy の最大値, 最小値を求めよ

是

=本        (2) *, ッ が x+ がたという値をとれる

ぐー 2z*一2xyキター2 かつ ァ二ターん
を満たす実数 x, y が存在する

JP テー     を2?一2z(一ヶ) 十(ん一*)?三2

を満たす実数 x が存在する

【医 | <全 5"ー4z二太一2ニ0 が実数解をもつ

判別式: ニー(ー26*ー5(eー2) 0
                          偽微分
り
ーだTi0=0  … si0 UKy,Vrx-yとおく
一Y10 skSY10          信f=0の時停留点
よって                        uは極値を取る

最大値は Y10 , 最小値は --Y10
1{答)

| 1 : 平方完成による解法

 

方針: 「多変数の問題は最小次数の変数の1変数関数と見る」という鉄則に従

います。 この場合 z, ともに二次なのでどちらでもできます。

 

げ(z, 9) を についての二次関数と見てから平方完成すると,
げ(z, ニz2十2zy十292ー6z十49ー1

ー(z二ター3)7二の 十109一10

さらに, 残ったッについての部分を平方完成すると,

げ(z,9) ニ(ァ二ター3)?十(9十5)? 一 35

よって, ーー5,z 三 8 のとき最小値一35

 

また, y について先に平方完成しても同様にできます :

げ(z,の) =2(9オ一二1)7二一ー8z一3

1
ト1)アっテ(Z 8)* - 35
ただし, 2^ の係数が1であるのに対して ヶ^” に対する係数が 2 なので計算途中
で分数が出現してしまいます。 一般的に二次の係数の絶対値が1である変数につ
いて整理した方が計算が楽です。

| 3 : 判別式を用いる解法

 

 

方針: 「 (二次の係数が正の) 二次関数の最小値が0以下信判別式が0以上」

という重要な考え方を用います。

 

げ(Z,9) ニ を となる (Z,9) が存在する
る げ(Z,9) 一なの判別式 が0以上。

ー(9ー3)* 一(292/十 49リーユーが
ー9"” 一 10y十 10 十ん

ニー(9十5)?十35十ん
となり > ーー35 が分かる。

 

 

この解法は本質的に平方完成と同じなので実践では平方完成を用いた方がスマ
証放本誠時ただし, 判別式の考え方は重要なのでマスターしておいてくださ
い。

陰関数 最大最小値 判別式 平方完成

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

X+Yの項で平方完成したら、XYの項が処理できないから平方完成のやり方はうまくないと思います。
やはりテキスト通り、１文字消去の判別式だと思います。

哲治

３枚目の平方完成と判別式が同じなのは最小値が０以下を示す場合の話なんで、本問とは全く別物ですよね。

なず

ありがとうございます。

そうですね。別物と思わなくもないですが、ちょうどよく判別式も偏微分も解けるのでそれもいけるかなと。でもそもそもこの問題平方完成できてもその後どうやって最大最小値を求めるのかわからないんですけどね。