Question

mimi

例題58の解説でr－√7を二乗する時に（r－√7）²で計算するのはなぜですか？教えてください🙏🏻

mm58 彰理法による太明
/『+ソ7 は無理数であることを証明せよ<
知られているものとする。
              である(=有理数でない) ことを直接示すの
wan

は因鹿。そ                         ッ
ないと仮定して。才慎を導きその事柄が成り立つ

ことを征明する方法, すなわち 彰理法 で証明する。
、 画昌7だめなら間接で 痛理法
(@TI3 ごない」。 [少なくとも1つ」 の証明に下訪

1し三
5了ソ7 が無理数でないと仮定する<
このとき, 5ナツ7 は有理数であるから, を有理数として

  
 
 
  
  
   
   
   
 
 

 

 

 

 

 

 

 

  

記す ケーァとおくと75 ニッーソ7                            の

両辺を2 乗して      5ニー277ァ+7               2 な

めゆえに         27アテーゲキ2             2
7                     Ye     6

ァキ0 であるから      7ちら 肝2S9D                  理雪である

ブナ2。 2は有理数であるから, ① の右辺も有理数である(*)。 | 5 が無理数cぁ
よって, ①から77 は有理数となり, /7 が無理数であること | 症軸ME
|    に矛盾する。                                           ・
したがって, 75 +y7 は無理数である。

    
 

前電流による証明と対側による証明の貼い

命衣かつ 7について, 背理法では[ゆであってでない] (命

くが 尊論の 2 でない」 に対する矛盾でも, 仮定の [か でea cr

もよい 後者の場合 [7 2 つまり対側が真であることを示したことになお  】

ーー 理法による証明と対側による証明は似ているように感じ

6   るものである。対偶による証明 は [7 > |を示す, っまり,(
本放がかとはっきりしている。これに対し,痛理法 の場合 「) であうて8

して上が生じることを示
9っ8Dueuu、 | 4人8める上では) どう

背理法 有理数と無理数 証明

Answer 1

M

この証明では無理数が有理数と等しくなるところに矛盾を導きたいのです。そのため、発想として無理数が単独で存在して欲しいわけです。はじめの状態ではルート5とルート7があるのでどちらかを片方に集めて2乗することでルートを外したいわけです。
今、問題文からルート7が無理数であることは事実として使えるのでルート7を残してルート5を消す変形をします。
ルート5が無理数であることを使えるならばルート7を消すように変形しても良いのです。

mimi

コメントありがとうございます！カッコなしでr²－7ではダメでしょうか？