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まずは解答から
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3+2iが解ならば, 共役な3-2iも解である. 残りの[実数]解をαとすると, 解と係数の関係から
定数項について13=-(3+2i)(3-2i)α⇔α=-1と決まる.
また2次の項について-a=-{(3+2i)+(3-2i)+(-1)}=-5⇔a=5
1次の項についてb=(3+2i)(3-2i)+(3+2i)(-1)+(3-2i)(-1)=7
とそれぞれ定まる.
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使った事実は
①"実係数"の3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0は, 重解を含めて3つの実数解, あるいは共役な複素数解1組と実数解1個をもつ.
②3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0の解をα, β, γとするとa=-(α+β+γ), b=αβ+βγ+γα, c=-αβγが成り立つ[解と係数の関係].
です. 証明は教科書を読みましょう.
回答ありがとうございました😊
詳しく丁寧に説明していただきわかりやすかったです。
[補遺] より効率的にa, bを求めたいなら
x=3+2i⇔(x-3)^2=(2i)^2⇔x^2-6x+9=-4⇔x^2-6x+13=0 [実は共役性を使っている]
から実係数の3次式x^3-ax^2+bx+13は2次式x^2-6x+13で割り切れる.
定数項に着目すると商はx+1なので, 恒等式x^3-ax^2+bx+13=(x+1)(x^2-6x+13)が成り立つ.
これからa=5, b=7と定まる.