Question

もる

絶対値を含む不等式を解いた際に答えが４つ出たのですが、赤丸をつけている解しか適切でない理由を詳しく教えてください！
変域が苦手なので、変域をつかってくださると嬉しいです

Answer 1

LUX SIT

もるさんの解き方だと
±(x-2)±(x-4)=x+3 [複号に順序はないので4通り]
したがって
(x-2)+(x-4)=x+3⇔x=9, (x-2)-(x-4)=x+3⇔x=-1, -(x-2)+(x-4)=x+3⇔x=-5, -(x-2)-(x-4)=x+2⇔x=1
で, x=-5, -1, 1, 9の可能性があります[これは必要条件です].
逆に, x=-5ならば|x-2|+|x-4|=16≠8=|x+3|, x=-1ならば|x-2|+|x-4|=8≠2=|x+3|
x=1ならば|x-2|+|x-4|=4=|x+3|, x=9ならば|x-2|+|x-4|=12=|x+3|
なのでx=1, 9が解となる[元の方程式に代入して十分条件を確認する].
と解くのが自然だと思います.
***
|x-2|+|x-4|=x+3
|x-2|は-(x-2)[x<2のとき], (x-2)[x≧2のとき]
|x-4|は-(x-4)[x<4のとき], (x-4)[x≧4のとき]
なのでx<2, 2≦x<4, x≧4で場合分けします.[赤丸のうち一つはこの場合分けに沿っていないから不適]
***
x<2のとき, |x-2|+|x-4|=x+3⇔(2-x)+(4-x)=x+3⇔x=1
2≦x<4のとき, |x-2|+|x-4|=x+3⇔(x-2)+(4-x)=x+3⇔x=-1だが2≦x<4と矛盾するから不適[これがもう一つが不適な理由]
x≧4のとき, |x-2|+|x-4|=x+3⇔(x-2)+(x-4)=x+3⇔x=9
以上からx=1, 9が解である.