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角度の和と差に注目しましょう.
また90°と180°を意識しましょう.
なお加法定理を習っていないものとして解答しています.
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(1) cos36°sin54°-sin36°cos126° [126°だけ鈍角で180°-126°=54°]
=cos36°sin54°-sin36°cos(180°-54°)
=cos36°sin54°+sin36°cos54° [cos(180°-θ)=-cosθ]
=cos36°sin(90°-36°)+sin36°cos(90°-36°) [36°に揃える. 90°-36°=54°]
=cos^2(36°)+sin^2(36°) [cos(90°-θ)=sinθ, sin(90°-θ)=cosθ]
=1 [単位円周上にある.]
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(2) sin20°+sin70°+cos110°+cos160° [20°+160°=180°, 70°+110°=180°と補角の関係]
=sin20°+sin70°+cos(180°-70°)+cos(180°-20°) [cos(180°-θ)=-cosθ]
=sin20°+sin70°-cos70°-cos20° [次に20°+70°=90°に注目すると...]
=sin20°+sin(90°-20°)-cos(90°-20°)-cos20° [sin(90°-θ)=cosθ, cos(90°-θ)=sinθ]
=sin20°+cos20°-sin20°-cos20°
=0
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(3) cos^2θ+cos^2(90°-θ)+cos^2(90°+θ)+cos^2(180°-θ) [上の2問が理解できていれば簡単な問題です.]
=cos^2θ+(sinθ)^2+(-sinθ)^2+(-cosθ)^2 [cos(90°+θ)=-sinθ]
=2(sin^2θ+cos^2θ) [(sinθ, cosθ)は単位円周上の点です.]
=2
分かりやすさのために①鈍角は鋭角に②そして角度を揃える, という方針で解きました.
公式に慣れれば, 下のようにもう少しシャープに解けます.
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[別解] 最初から角を揃えることを意識する.
(1) cos36°sin54°-sin36°cos126° [一番小さい36°に揃える]
=cos36°sin(90°-36°)-sin36°cos(90°+36°)
=cos^2(36°)+sin^2(36°)
=1
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(2) sin20°+sin70°+cos110°+cos160° [一番小さい20°に揃える]
=sin20°+sin(90°-20°)+cos(90°+20°)+cos(180°-20°) [様々な形が出てくるので慣れないと厳しいでしょう]
=sin20°+cos20°-sin20°-cos20°
=0
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三角関数の計算は複雑な場合でも明確な方針を持つことが大事です.
とても分かりやすくて理解できました！
ありがとうございます😊
細かい式まで詳しくありがとうございます！