Question

😇😇😇

軌跡の問題です。
分からないので解説お願いします🤲

キアツー4ニ0 上を動くとき, 3点A(0, 0), B(2 2 Pを頂点とする三角形

から引いた円 二(ッー1)ー1 の接線の方程式を求めよ。

語 6 0円エアー25 …0によって切り取られる弦り の長きを求めよ。

Answer 1

LUX SIT

軌跡の問題なので最初の2問ですね.
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1. 平方完成すると
y=x^2-2(2a-2)x+4a-4
={x-(2a-2)}^2-(2a-2)^2+(4a-4)
={x-2(a-1)}^2-4(a-1)(a-2)
したがってP(2(a-1), -4(a-1)(a-2))である.
ここで0<a≦2の範囲で-2<2(a-1)≦2
また-4(a-1)(a-2)=-2(a-1){2(a-1)-2}と表せるので, 軌跡は
定義域-2<x≦2での放物線y=x(2-x)である.
***
2. x^2+y^2-4x=0⇔(x-2)^2+y^2=2^2.
これから円周上の点Pは媒介変数0≦θ<2πを用いて(2+2cosθ, 2sinθ)と書ける.
このとき重心Gの座標(x, y)は((2cosθ+4)/3, (2sinθ-2)/3)と表せる.
x=(2cosθ+4)/3, y=(2sinθ-2)/3⇔cosθ=(3x-4)/2, sinθ=(3y+2)/2　[写像の対応を見よう]
0≦θ<2πにおける(cosθ, sinθ)は単位円全体を表すので重心Gは
{(3x-4)/2}^2+{(3y+2)/2}^2=1
⇔(3x-4)^2+(3y+2)^2=2^2
⇔(x-(4/3))^2+(y+(2/3))^2=(2/3)^2
すなわち中心(4/3, -2/3), 半径2/3の円を描く.
***
[別解]
重心Gの座標を(x, y)とすると, 点Pは(3x-2, 3y+2)にある.
点Pが円x^2+y^2-4x=0⇔(x-2)^2+y^2=2^2上にあるので
(3x-4)^2+(3y+2)^2=2^2
⇔(x-(4/3))^2+(y+(2/3))^2=(2/3)^2を重心Gは満たす.
すなわち重心Gの軌跡は中心(4/3, -2/3), 半径2/3の円である.

😇😇😇

丁寧にありがとうございます