Question

ゴン太

数字がないのでどう考えたらいいかわかりません。
お願いします！

Ro)は, 入 >0 (m=1。 2 ……) で初項から第 項までの和を $。 とするとぎ

|       sm)  =1. 2. …)

|                  m
| で与えられる.

| G) 5。 の値を求めよ.

の⑦ *。 を求めよ.

数列 数b

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

これは少し考えないと解けないでしょう.
(1)はS[n]に関する漸化式を立ててね. そうすればうまく解けるよ, というヒントになっています.
***
(1)n=1のとき, S[1]=x[1]なので, 漸化式からS[1]={S[1]+(1/S[1])}/2
⇔S[1]=1/S[1]⇔(S[1]-1)(S[1]+1)=0. ここでS[1]=x[1]>0なのでS[1]=1と決まる.
一方, 漸化式の両辺に2x[n]を掛けると, 2x[n]S[n]=x[n]^2+1
平方完成すると(S[n]-x[n])^2=S[n]^2-1 [ここが難所だと思います]. n≧2でS[n]-x[n]=S[n-1]だからS[n]^2-S[n-1]^2=1.
したがって数列{S[n]^2}は初項S[1]^2=1, 公差1の等差数列をなす.　すなわちS[n]^2=1+(n-1)=n.
ここですべての自然数nに対してx[n]>0なのでS[n]>0[正の項の和は正]だからS[n]=√nと定まる.
***
(2)n≧2において, x[n]=S[n]-S[n-1]=√n-√(n-1)がいえる.
これはn=1のときも確かにx[1]=1で満たすから,　数列{x[n]}の一般項はx[n]=√n-√(n-1)である.

ゴン太

どういう考えから漸化式に2Xnをかけたんですか？
教えてほしいです！そういう考えがなかったので

LUX SIT

単純に元の式を通分しても分数のままで考えにくい, そこで掛けて整理しよう, という素朴な発想です.

ゴン太

なるほど、ありがとうございました！